Recherche d'une suite

Rappel :

Une suite est comme l'indique son nom une suite de nombre définis par une formule mathématique. On appele généralement une suite par une lettre, par exemple "U" est le nom de la suite et "n" le terme de la suite. Pour passer d'un terme à un autre de la suite on notera donc : U(n+1)=Un+2, en français cela signifie que si l'on passe au terme suivant de la suite, il faudra ajouter 2. Cet exemple de suite s'appelle une suite arithmétique. Un autre d'exemple de suite est la suite dite géometrique : U(n+1)=Un*2, en français, cela veux dire que si l'on passe au terme suivant d'une suite, il faudra multiplier le terme présen par 2. Définir une suite ainsi (U(n+1) = machin) s'appelle la définir par récurrence. Dans les deux exemples, 2 est appelé la raison de la suite, cette se notera "r" dans le cas d'une suite arithmetique et "q" dans le cas d'une suite géometrique.
Il y a un autre moyen de définir une suite que par la récurrence, on qualifie alors cette formule d'"explicite". Pour reprendre les exemples précédents, on aura : Un=U0+2n (arithmetique), cela veux dire qu'un terme "n" de la suite sera égal au premier terme (noté U0) plus "n" multiplié par la raison (ici la raison est 2). On aura pour le deuxieme exemple : Un=U0+2^n (géometrique), cela veux dire que le terme "n" de la suite sera égal à la raison puissane "n" (q^n signifie q puisance n ) multiplié par le premier terme. Si on cherche le troisieme terme et que U0=1, alors on aura : U3=1+2 puissance 3 c'est à dire U3=1+(2*2*2)=9.

 

Hypothese de suite :

Les termes de la suite seront les distances séparant les poteaux. On constate que ces distances diminuent au fur et a mesure que l'on se rapproche du point de fuite. Cependant, en faisant des mesures rapides, on constate que les termes de la suite ne décroissent pas d'une façon identique. C'est à dire que pour passer d'un terme au suivant, il ne suffit pas de le multiplier par un nombre. Au premier abord, on aurait pu croire qu'il s'agissait d'une suite géometrique du type U(n+1)=Un*q^n mais il n'en est rien, la raison q varie d'un terme a l'autre. On pourait alors penser que la raison varie de façon constante, c'est à dire que q(n+1)=qn*x (ici x est la raison de la suite qn). Si la raison varie de la sorte, alors qn=q*x^n (formule explicite). Si l'on replace q dans une suite géometrique classique on obtiens alors U(n+1)=Un*qx^n ou x serait en fait la raison de la raison. Mais dans ce cas, si x>1, il ne faudrait pas que la fonction f(x)=x^n croisse plus rapidement que ne décroit la fonction g(q)=Uo*q car alors au bout d'un certain terme de la suite, celle ci redeviendrait croissante, ce qui est illogique puisque dans un repère en perspective les distances sont strictement décroissantes.

Note : Pour tester cette hypothèse, je me suis servi du logiciel geoplan, qui m'a permi de trouver des mesures trés exactes.
Imageons cette hypothèse :

Autre hypothèse :

Prenons a présent la figure 3. On sait que les triangles ne sont pas sembalables, d'une part parce que si c'était le cas, l'hypothénuse du triangle le plus proches du point de fuite dépasserait celui-ci. Hors ceci est impossible car le point de fuite symbolyse l'infini, il est donc hors de question de le dépasser. Dautre part, cela a été vérifié avec le logiciel geoplan. Les angles a diminuent d'un triangle à l'autre. Supposons que les verticales varient de façon constante. Aloors dans ce cas pour trouver le terme suivant de la suite, il suffirait de trouver cette variation. Si on nottait cette variation q1 on aurait alors U(l+1)=Ul*q1. Soit q2 la variation constante d'un angle à l'autre. Alors on aurait U(sina+1)=Usina*q2. On sait que d=lsina soit U(d+1) U(sina+1)*U(l+1)=l*q1sina*q2.